Raíces de un número complejo.
Sea \(w\) un número complejo tal que \(w^n=z\) entonces se dice que \(w\) es una raíz enésima de \(z\). Escribiendo \(w\) en su forma polar se tiene por lo visto en la sección anterior que: $$w=\rho\left(\cos{\varphi}+\sin{\varphi}\right)\Longrightarrow w^n=\rho^n\left(\cos{n\varphi}+\sin{n\varphi}\right),$$ pero como $$w^n=z\Longrightarrow\rho^n\left(\cos{n\varphi}+i\sin{n\varphi}\right)=r\left(\cos{\theta}+i\sin{\theta}\right)$$ que escrito para cualquier argumento y no solo para el argumento principal es, $$\rho^n\left(\cos{n\varphi}+i\sin{n\varphi}\right)=r\left(\cos{(\theta+2k\pi)}+i\sin{(\theta+2k\pi)}\right)$$ entonces de la definición de igualdad de número complejos se tiene, $$\left\{\begin{array}{l} ρ^n=r\\ nφ=θ+2kπ \end{array}⟹\left\{\begin{array}{l} ρ=r^{1/n}\\ φ=\frac{θ+2kπ}n\end{array}\right.\right.$$ Son las expresiones para determinar \(w=\rho\left(\cos{\varphi}+\sin{\varphi}\right)\) que es raíz del complejo \(z\) y conduce a la siguiente afirmación:
Raíces complejas de un número:
si \(z=r\left(\cos{\theta+i\sin{\theta}}\right)\) y \(n\) es un número entero positivo, entonces las \(n\) raíces de \(z\) son,
$$w_k=r^{1/n}\left[\cos{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}\right]
~\mathrm{para~~}k=0,\ 1,\ 2,\cdots,n-1.$$
En la expresión anterior los argumentos se miden en radianes, para medir en grados reemplace \(2k\pi=k360°\) y además al usar la expresión anterior tenga en cuenta que:
1. El módulo de cada raíz enésima es \(r^\frac{1}{n}\) igual a la raíz enésima real, del módulo.
2. El argumento de \(w_0\) es \(\theta/n\)
3. Se suma de forma repetida \(2\pi/n\) o (\(360°/n \) si se mide en grados) para obtener el argumento de cada raíz sucesiva.
La interpretación geométrica, de esto es que al graficar las raíces enésimas \(z\) éstas, se ubican igualmente espaciadas en el círculo de radio \(R=r^{1/n}\)
Antes de continuar recuerde los dos resultados importantes encontrados al inicio de este estudio, los cuales se escriben y enuncian una vez más por considerar su importancia.
\(\textcolor{#ff0080}{R_1}\) De la definición de producto y de unidad imaginaria se tiene: $$i\cdot i=i^2=\left(0,\ 1\right)\left(0,\ 1\right)=\left(0-1,\ 0+0\right)=(-1,\ 0),$$ pero por la afirmación \(\textcolor{#ff0080}{A_1}:\ \left(a,0\right)=a\), y por tanto el par \(\left(-1,\ 0\right)=-1\) y de aquí se tiene la afirmación \(i^2=-1\) que conduce a la igualdad \(i=\sqrt{-1}\) (nuevamente se enfatiza que esta no es una definición sino una consecuencia).
\(\textcolor{#ff0080}{R_2}.\) De la propiedad de los radicales \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt a\cdot\sqrt b\) de donde para \(\sqrt{-x}\) se tiene, $$\sqrt{-x}=\sqrt x\sqrt{-1}\ =\sqrt x\cdot i$$ con lo cual queda resuelto el problema de la raíz par de un número negativo. Como se verá a continuación.
En los primeros ejemplos de esta sección se plantea la base sobre la cual se ha de construir el cálculo de las raíces de un número complejo, esto con la finalidad de introducir al estudiante en el campo del análisis complejo de una manera simple, los ejemplos posteriores poseen un mayor nivel los cuales permitirán afianzar los conocimientos.
Ejemplo 1 Determinar \(\sqrt{-1}\) dentro de lo números complejos.
Solución: puede estar tentado a escribir \(\sqrt{-1}=i\), sin embargo, esta respuesta es solo una parte de la solución, no su totalidad como se muestra a continuación.
Sea \(w=\rho\left(\cos{\varphi}+\sin{\varphi}\right)\) tal que, \(w=\sqrt{-1}\Longrightarrow w^2=-1.\) Escribiendo \(-1\) en su forma polar \(-1=1(\cos{\pi}+i\sin{\pi})\) y aplicando la definición de raíces complejas se tiene,
\begin{align}
w_k&=r^{1/n}\left[\cos{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}\right]\ \ \mathrm{para}~ n=2\ \ y\ \ k=0,\ 1\\
w_0&=1^{1/2}\left[\cos{\left(\frac{\pi+2(0)\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2(0)\pi}{2}\right)}\right]=\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}=i\\
w_1&=1^{1/2}\left[\cos{\left(\frac{\pi+2(1)\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2(1)\pi}{2}\right)}\right]=\cos{\frac{3\pi}{2}}+i\sin{\frac{3\pi}{2}}=-i\end{align}
Ejemplo 2. Determinar las tres raíces cúbicas de \(z=8\).
Solución: como \(z=8\) entonces \(z=8+0i,\) que escrito en forma polar es \(z=8\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)\)
\begin{align}
w_k&=r^\frac{1}{n}\left[\cos{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}\right]\\
w_0&=8^\frac{1}{3}\ (\cos{0}+i\sin{0})=2\left(1+0i\right)=2\\
w_1&=8^\frac{1}{3}\left[\cos{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}+i\sin{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}\right]=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-1+\sqrt3i\\
w_2&=8^\frac{1}{3}\left[\cos{\left(\frac{4\pi}{3}\right)}+i\sin{\left(\frac{4\pi}{3}\right)}\right]=2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-1-\sqrt3i\end{align}
Ejemplo 3. Determinar \(z,\) si \(z^4=i.\)
Solución: la respuesta del ejercicio equivale a determinar \(w\) tal que \(w^4=z\) (raíces cuartas de \(i\)), comience por escribir \(z^4=i\) como \(z^4=0+i\) que en forma polar es, $$z^4=\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}$$
De donde las racies \(w_k\) están dadas por $$w_k=\cos{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}$$
Para \(k=0,\ 1,\ 2\) y \(3\) se tiene,
\begin{align}
w_0&=\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(0)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(0)\pi}{4}\right)}=\cos{\frac{\pi}{8}}+i\sin{\frac{\pi}{8}}\\
w_1&=\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(1)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(1)\pi}{4}\right)}=\cos{\frac{5\pi}{8}}+i\sin{\frac{5\pi}{8}}\\
w_2&=\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(2)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(2)\pi}{4}\right)}=\cos{\frac{9\pi}{8}}+i\sin{\frac{9\pi}{8}}\\
w_3&=\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(3)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(3)\pi}{4}\right)}=\cos{\frac{13\pi}{8}}+i\sin{\frac{13\pi}{8}}\\
\end{align}
Ejemplo 4. Determinar la raíz cuarta de \(z=16\)
Solución: note que \(z=16\) es un número real y por tanto en los reales \(\sqrt[4]{16}=2,\) sin embargo, esta es solo la raíz cuarta principal del complejo \(z=16,\) que en forma polar es \(z=16\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)\) y las raíces \(w_k\) están dadas por,
\begin{align}
w_k&=r^{1/n}\left[\cos{\left(\frac{2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{2k\pi}{n}\right)}\right]\ \ \ \ \mathrm{para} \ \ n=4\ \ y\ \ k=0,\ 1,\ 2,\ 3\\
w_0&={16}^{1/4}\left[\cos{\left(\frac{2(0)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{2(0)\pi}{4}\right)}\right]=2\left[\cos{0}+i\sin{0}\right]=2\\
w_1&={16}^{1/4}\left[\cos{\left(\frac{2(1)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{2(1)\pi}{4}\right)}\right]=2\left[\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}\right]=2i\\
w_2&={16}^{1/4}\left[\cos{\left(\frac{2(2)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{2(2)\pi}{4}\right)}\right]=2\left[\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right]=-2\\
w_3&={16}^{1/4}\left[\cos{\left(\frac{2(3)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{2(3)\pi}{4}\right)}\right]=2\left[\cos{\frac{3\pi}{2}}+i\sin{\frac{3\pi}{2}}\right]=-2i\end{align}
Note de los primeros tres ejemplos lo que ha acontecido, para \(\sqrt{-1}\) dos soluciones, para \(\sqrt[3]{8}\) tres soluciones y para \(\sqrt[4]{16}\) cuatro soluciones, este no es coincidencia sino más bien una regla que se cumple siempre al trabajar en los complejos y se resume en el siguiente teorema.
$$\begin{array}1
\mathrm{Cantidad ~de~ raíces~ de~ un~ número~ complejo.}\\
\hline \mathrm{Sea}~ z\in\mathbb{C}~ \mathrm{tal~ que}~ z\neq0~ \mathrm{entonces}~ \sqrt[n]{z}~~\mathrm{tiene}~ n~ \mathrm{soluciones.}
\end{array}$$
Ejemplo 5. Dos resultados importantes. Determinar \(\sqrt c\) y \(\sqrt{-c}\) en el campo de los complejos, donde \(c\) es una constante positiva.
Solución para \(\sqrt{c}:\) escribiendo \(c\) en su forma polar, \(c=c\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)\) de donde las raíces son, \(w_k\) están dadas por,
\begin{align}
w_k&=r^{1/n}\left[\cos{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}\right]\ \ \mathrm{para} \ n=2\ \ y\ \ k=0,\ 1\\
w_0&=\sqrt c\left[\cos{\left(\frac{0+2(0)}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{0+2(0)\pi}{2}\right)}\right]=\sqrt c\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=\sqrt c\\
w_1&=\sqrt c\left[\cos{\left(\frac{0+2(1)\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{0+2(1)\pi}{2}\right)}\right]=\sqrt c\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=-\sqrt c\\
\end{align}
Solución para \(\sqrt{-c}:\) escribiendo \(-c\) en su forma polar, \(-c=c\left(cos{\pi}+isin{\pi}\right)\) de donde las raíces son,
$$w_0=\sqrt {c}\left[\cos{\left(\frac{\pi+2(0)\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2(0)\pi}{2}\right)}\right]=\sqrt c\left[\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}\right]=\sqrt{c} i$$
$$w_1=\sqrt c\left[\cos{\left(\frac{\pi+2(1)\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2(1)\pi}{2}\right)}\right]=\sqrt c\left[\cos{\frac{3\pi}{2}}+i\sin{\frac{3\pi}{2}}\right]=-\sqrt {c} i$$
Una más manera más fácil de encontrar estos resultados es aplicar los resultados conocidos,
$$\sqrt{-c}=\sqrt{c\left(-1\right)}=\sqrt c\sqrt{-1}=\sqrt c\left(\pm i\right)=\pm\sqrt {c} i$$ Se puede consultar el ejemplo uno de esta sección para ver que \(\sqrt{-1}=\pm{i}\).
Ejemplo 6. Determinar dentro del campo de los números complejos \(\sqrt{49}\) y \(\sqrt{-169}.\)
Solución: de los resultados anteriores se tiene, $$\sqrt{49}=\pm7 y \sqrt{-169}=\sqrt{169\left(-1\right)}=\sqrt{169}\sqrt{-1}=13\left(\pm i\right)=\pm13i$$
Ejemplo 7. Afianzando conocimientos. Determinar \(z,\) si \(z^4=i\)
Solución: la respuesta del ejercicio equivale a determinar \(w\) tal que \(w^4=z\) (raíces cuartas de \(i\).
Reescribiendo \(z^4=i\) como \(z^4=0+i\) que en forma polar es
\(z^4=1\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}\right)\) de donde se tiene:
\begin{align}
w_k&=r^{1/n}\left[\cos{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}\right]\ \ \ \ \mathrm{para} \ \ n=4\ \ y\ \ k=0,\ 1,\ 2,\ 3\\
w_0&=\left[\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(0)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(0)\pi}{4}\right)}\right]=\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\\
w_1&=\left[\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(1)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(1)\pi}{4}\right)}\right]=\cos{\left(\frac{5\pi}{8}\right)}+i\sin{\left(\frac{5\pi}{8}\right)}\\
w_2&=\left[\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(2)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(2)\pi}{4}\right)}\right]=\cos{\left(\frac{9\pi}{8}\right)}+i\sin{\left(\frac{9\pi}{8}\right)}\\
w_3&=\left[\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(3)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(4)\pi}{4}\right)}\right]=\cos{\left(\frac{13\pi}{8}\right)}+i\sin{\left(\frac{13\pi}{8}\right)}\end{align}